POLINOMIOS ESPECIALES

Polinomio Homogéneo

Definición: Es aquel polinomio en el cual todos sus términos son de igual grado absoluto.

Ejemplo

\[ P_{(x;y)} = 2x^{5}y^{4} + 6x^{6}y^{3} - x^{2}y^{7} \]

• Término 1: \( 2x^{5}y^{4} \) → G.A. = \( 5+4 = 9 \)
• Término 2: \( 6x^{6}y^{3} \) → G.A. = \( 6+3 = 9 \)
• Término 3: \( x^{2}y^{7} \) → G.A. = \( 2+7 = 9 \)

P(x; y) es homogéneo de grado: 9

Condición

Para que un polinomio sea homogéneo, el grado absoluto de todos sus términos debe ser igual.

Polinomio Ordenado

Definición: Un polinomio será ordenado con respecto a una variable, si los exponentes de dicha variable están aumentando o disminuyendo a partir del primer término.

Tipos

• Ordenado descendente: los exponentes disminuyen de izquierda a derecha.
• Ordenado ascendente: los exponentes aumentan de izquierda a derecha.

Ejemplo (descendente)

\[ P(x) = x^{8} + x^{5} - 2x^{4} + 5x - 2 \]

Los exponentes de \(x\): \( 8 > 5 > 4 > 1 > 0 \) → ordenado en forma descendente.

Ejemplo (ascendente)

Los exponentes van de menor a mayor:

\[ P(x) = 2 + 3x + x^{2} + 4x^{3} \]

Exponentes: \( 0 < 1 < 2 < 3 \) → ordenado en forma ascendente.

Polinomio Completo

Definición: Un polinomio será completo con respecto a una variable, si dicha variable posee todos los exponentes desde el mayor hasta el exponente cero, inclusive.

Ejemplo

\[ P(x) = 2x^{3} + x^{2} + x^{4} - 2x + 6x^{0} \]

Tiene exponentes: 4, 3, 2, 1, 0 → P(x) es completo.

Propiedad importante

En todo polinomio completo y de una sola variable, el número de términos es:

\[ ext{N}^{\circ} ext{ de términos} = ext{Grado} + 1 \]

Ejemplo de la propiedad

\[ P(x) = x^{16} + x^{15} + x^{14} + \cdots + x^{2} + x + 1 \]

G.A. de P(x) = 16

N° de términos = 16 + 1 = 17

Polinomios Idénticos \( (\equiv) \)

Definición: Dos polinomios son idénticos si tienen el mismo valor numérico para cualquier valor asignado a sus variables.

En dos polinomios idénticos, los coeficientes de sus términos semejantes son iguales.

Condición

Si:

\[ ax^{2} + bx + c \equiv mx^{2} + nx + p \]

Entonces se cumple que:

\[ a = m \]

\[ b = n \]

\[ c = p \]

Regla clave

Iguala término a término, comparando los coeficientes de los monomios del mismo grado.

Ejemplo

Si \( 3x^{2} + bx + 5 \equiv 3x^{2} + 7x + c \), entonces:

- \( b = 7 \)

- \( c = 5 \)

Polinomio Idénticamente Nulo

Definición: Es aquel que se anula para cualquier valor de sus variables.

En todo polinomio idénticamente nulo reducido, sus coeficientes son iguales a cero.

Condición

Si:

\[ ax^{2} + bx + c \equiv 0 \]

Entonces se cumple que:

\[ a = 0 \]

\[ b = 0 \]

\[ c = 0 \]

Estrategia de resolución

• Iguala cada coeficiente a cero.
• Resuelve el sistema de ecuaciones resultante.
• Sustituye los valores hallados en la expresión pedida.

Ejemplo

Si \( (a-3)x^{2} + (b+1)x + c \equiv 0 \), entonces:

- \( a - 3 = 0 \Rightarrow a = 3 \)

- \( b + 1 = 0 \Rightarrow b = -1 \)

- \( c = 0 \)

Resumen de Polinomios Especiales

Cuadro comparativo

• Homogéneo: Todos los términos tienen el mismo grado absoluto.
• Ordenado: Los exponentes de una variable van en orden creciente o decreciente.
• Completo: La variable tiene todos los exponentes desde el grado hasta 0.
• Idénticos \( (\equiv) \): Coeficientes de términos semejantes son iguales.
• Idénticamente nulo: Todos sus coeficientes son igual a cero.

Fórmulas clave

\[ ext{Polinomio completo: N° términos} = ext{Grado} + 1 \]

\[ P \equiv Q \Rightarrow ext{coeficientes semejantes iguales} \]

\[ P \equiv 0 \Rightarrow ext{todos los coeficientes} = 0 \]

Tip para exámenes

Un polinomio puede ser simultáneamente homogéneo, ordenado y completo. Analiza cada condición por separado antes de responder.