MONOMIOS

Monomio

Es un Término Algebraico racional entero, es decir, con exponentes enteros y positivos (incluido el cero).

Ejemplo:

$$-4x^5y^4z^2$$

Donde:

— $-4$ : Parte Constante (coeficiente)

— $x^5y^4z^2$ : Parte Variable

Observación: Un monomio puede ser:

— Una constante: $5$

— Una variable: $x$

— El producto de una constante por una o más variables: $3x^2y$

Al expresar $M_{(x,\, y)}$ indicamos que es un monomio de 2 variables.

Grado Absoluto (G.A.)

Está dado por la suma de los exponentes de todas las variables del monomio.

Ejemplo:

$$M_{(x,\,y)} = 4^2x^4y^6$$

$$GA(M) = 4 + 6 = 10$$

Ejemplo resuelto: En el monomio $M_{(x,\,y)} = 2x^{a+2}y^3$ cuyo $G.A. = 10$, hallar $a$.

Solución:

El grado absoluto es la suma de los exponentes:

$$(a+2) + 3 = 10$$

$$a + 5 = 10$$

$$\boxed{a = 5}$$

Grado Relativo (G.R.)

Está dado por el exponente de la variable en mención.

Ejemplo:

$$N_{(x,\,y)} = 6x^3y^4$$

$$GR(x) = 3 \qquad GR(y) = 4$$

Ejemplo resuelto: En el monomio $M_{(x,\,y)} = 4^4x^{2n-5}y^6$, calcular $n$ si el grado relativo respecto de $x$ es igual a 15.

Solución:

El grado relativo de $x$ es el exponente de $x$:

$$2n - 5 = 15$$

$$2n = 20$$

$$\boxed{n = 10}$$

Ejemplos resueltos — G.A. y G.R. con incógnitas

Ejemplo 1: En $M_{(x,\,y)} = 4x^{a+3}y^6$ con $G.A. = 12$, hallar $a$.

Solución:

$$(a+3) + 6 = 12$$

$$a + 9 = 12$$

$$\boxed{a = 3}$$

Ejemplo 2: En $M_{(x,\,y)} = 3x^{n-4}y^6$ con $G.A. = 12$, calcular $n$.

Solución:

$$(n-4) + 6 = 12$$

$$n + 2 = 12$$

$$\boxed{n = 10}$$

Ejemplo 3: En $M_{(x,\,y)} = 3x^{n-8}y^{5n}$, calcular $GR(y)$ si $GR(x) = 12$.

Solución:

Primero hallamos $n$ usando $GR(x)$:

$$n - 8 = 12 \Rightarrow n = 20$$

Luego:

$$GR(y) = 5n = 5(20) = \boxed{100}$$

Ejemplo 4: En $M_{(x,\,y)} = 5x^{2n-1}y^{n+5}$, calcular $GR(x)$ siendo $GR(y) = 10$.

Solución:

Hallamos $n$ con $GR(y)$:

$$n + 5 = 10 \Rightarrow n = 5$$

Luego:

$$GR(x) = 2n - 1 = 2(5) - 1 = \boxed{9}$$

Hallar el coeficiente dado G.R.(x) y G.R.(y)

Cuando el coeficiente depende de incógnitas $a$ y $b$, usamos los grados relativos para encontrar sus valores y luego calculamos el coeficiente.

Ejemplo 1: En $M_{(x,\,y)} = (a+b)x^{2a-4}y^{b-3}$ con $GR(x) = 12$ y $GR(y) = 14$, hallar el coeficiente.

Solución:

$$2a - 4 = 12 \Rightarrow 2a = 16 \Rightarrow a = 8$$

$$b - 3 = 14 \Rightarrow b = 17$$

$$\text{Coeficiente} = a + b = 8 + 17 = \boxed{25}$$

Ejemplo 2: En $M_{(x,\,y)} = (2a+b)x^{a-6}y^{b+7}$ con $GR(x) = 8$ y $GR(y) = 9$, hallar el coeficiente.

Solución:

$$a - 6 = 8 \Rightarrow a = 14$$

$$b + 7 = 9 \Rightarrow b = 2$$

$$\text{Coeficiente} = 2a + b = 2(14) + 2 = \boxed{30}$$

Ejemplo 3: En $M_{(x,\,y)} = (a^2 + b^3)x^{3a+b}y^{2a+5b}$ con $GR(x) = 10$ y $GR(y) = 11$, hallar el coeficiente.

Solución:

Sistema de ecuaciones:

$$3a + b = 10 \quad (1)$$

$$2a + 5b = 11 \quad (2)$$

De (1): $b = 10 - 3a$. Sustituimos en (2):

$$2a + 5(10-3a) = 11 \Rightarrow 2a + 50 - 15a = 11 \Rightarrow -13a = -39 \Rightarrow a = 3$$

$$b = 10 - 3(3) = 1$$

$$\text{Coeficiente} = a^2 + b^3 = 9 + 1 = \boxed{10}$$

Monomios con potencia exterior

Cuando un monomio tiene la forma $M = k\left[x^p y^q\right]^r$, primero se distribuye el exponente exterior:

$$M = k \cdot x^{p \cdot r} \cdot y^{q \cdot r}$$

Y el $G.A. = p \cdot r + q \cdot r$

Ejemplo 1: El monomio $M_{(x,\,y)} = 27\left[x^{3n+2}y^{n+1}\right]^4$ es de grado 28. Calcular $n$.

Solución:

Distribuimos el exponente 4:

$$GA = 4(3n+2) + 4(n+1) = 28$$

$$12n + 8 + 4n + 4 = 28$$

$$16n + 12 = 28 \Rightarrow 16n = 16 \Rightarrow \boxed{n = 1}$$

Ejemplo 2: El monomio $M_{(x,\,y)} = \sqrt{2}\left[x^{2n+1}y^{n+2}\right]^3$ es de grado 99. Calcular $n$.

Solución:

$$GA = 3(2n+1) + 3(n+2) = 99$$

$$6n + 3 + 3n + 6 = 99$$

$$9n + 9 = 99 \Rightarrow 9n = 90 \Rightarrow \boxed{n = 10}$$

Ejemplo 3: El monomio $M_{(x,\,y)} = 0{,}7\left[x^{3m-2}y^{11m+5}\right]^3$ es de grado 177. Calcular $m$.

Solución:

$$GA = 3(3m-2) + 3(11m+5) = 177$$

$$9m - 6 + 33m + 15 = 177$$

$$42m + 9 = 177 \Rightarrow 42m = 168 \Rightarrow \boxed{m = 4}$$