POLINOMIOS

Un $\mathbf{polinomio}$ es una suma limitada de monomios no semejantes.

$\mathbf{Ejemplos:}$

$$4x^2y^3 + 2x^4y^2 - x^3y$$

$$x^5 + x^3 + 2x + 1$$

$\mathbf{Notación:}$

Un polinomio cuya única variable es $x$ se representa como $P(x)$, que se lee "P de x" o "P en x".

En general, un polinomio de $(n+1)$ términos se expresa:

$$P(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \cdots + a_0 x^0$$

Donde:

- $x$ es la variable cuyo mayor exponente es $n$.

- $a_n, a_{n-1}, a_{n-2}, \ldots, a_0$ son los $\mathbf{coeficientes}$ de $P(x)$.

- $a_n$: coeficiente principal; $a_n

eq 0$.

- $a_0$: término independiente.

El $\mathbf{Grado\ Absoluto}$ de un polinomio está representado por el monomio de $\mathbf{mayor\ grado}$.

El grado de un monomio se obtiene sumando todos los exponentes de sus variables.

$\mathbf{Ejemplos:}$

$$P(x) = x^7 + x^5 + 4 \quad \Rightarrow \quad G.A. = 7$$

$$P(x,y) = x^{12}y^5 + x^4y + 4 \quad \Rightarrow \quad G.A. = 12 + 5 = 17$$

> En el segundo ejemplo, el monomio $x^{12}y^5$ tiene grado $12 + 5 = 17$, que es el mayor de todos los términos.

El $\mathbf{Grado\ Relativo}$ está representado por el $\mathbf{mayor\ exponente}$ de la variable referida dentro del polinomio.

$\mathbf{Ejemplo:}$

$$P(x,y) = 2x^3y^5 - 4x^4y^3 - 1y^5$$

• $GR_{(x)} = 4$ → el mayor exponente de $x$ es 4.
• $GR_{(y)} = 5$ → el mayor exponente de $y$ es 5.

> El grado relativo se calcula $\mathbf{independientemente}$ para cada variable, buscando el término donde esa variable tiene el exponente más alto.

$\mathbf{Problema:}$

En el siguiente polinomio:

$$P(x) = x^{a+1} + 2x^{a-3} + 7x^{a-5}$$

Calcular el valor de $a$ si $G.A. = 14$.

$\mathbf{Solución:}$

El grado absoluto es el mayor exponente. Comparando los tres exponentes:

- $a + 1$

- $a - 3$

- $a - 5$

El mayor es $a + 1$, por tanto:

$$a + 1 = 14$$

$$\boxed{a = 13}$$

$\mathbf{Verificación:}$ Los exponentes quedan $14,\ 10,\ 8$. El mayor es efectivamente 14. ✓

$\mathbf{Problema:}$

En el polinomio:

$$P(x,y) = 7x^2y^{b+4} - 5x^3y^{b-1} - x^2y^{b+7}$$

Calcular el valor de $b$ si $GR_y = 10$.

$\mathbf{Solución:}$

Los exponentes de $y$ en cada término son:

- $b + 4$

- $b - 1$

- $b + 7$ ← el mayor

El grado relativo respecto a $y$ es el mayor exponente de $y$:

$$b + 7 = 10$$

$$\boxed{b = 3}$$

$\mathbf{Verificación:}$ Los exponentes de $y$ quedan $7,\ 2,\ 10$. El mayor es 10. ✓

$\mathbf{Comparación\ rápida:}$

| Concepto | Definición | Cómo se calcula |

|---|---|---|

| $\mathbf{Grado\ Absoluto\ (G.A.)}$ | Mayor grado entre todos los monomios | Suma de exponentes de todas las variables en cada término; tomar el mayor |

| $\mathbf{Grado\ Relativo\ (G.R.)}$ | Mayor exponente de una variable específica | Mirar solo el exponente de esa variable en cada término; tomar el mayor |

$\mathbf{Regla\ práctica:}$

- Si te piden $G.A.$ → busca el término cuya suma de exponentes sea la más alta.

- Si te piden $GR_{(x)}$ → busca el término donde $x$ tenga el exponente más alto (ignorando las otras variables).

- Si hay una incógnita ($a$, $b$, $n$...) → plantea una ecuación igualando el exponente mayor al grado dado y resuelve.