SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS

Un polinomio es una expresión algebraica de una indeterminada (usualmente "x"). Por ejemplo, si x representa una longitud en metros, podemos construir expresiones como:

50 + 6x + 24x² + 2000x³

Esta expresión se llama polinomio de una indeterminada y se representa como P(x) ("P de x").

Lo que distingue a un polinomio de otro no es la variable x, sino su conjunto de coeficientes:

- P(x) = 50 + 6x + 24x² + 2000x³ → coeficientes: (50, 6, 24, 2000)

- P₁(x) = 30 + 2x − 15x² + 50x³ → coeficientes: (30, 2, −15, 50)

- P₂(x) = 15 − 2x + 2x² → coeficientes: (15, −2, 2)

Los coeficientes se representan con letras minúsculas (a, b, c...) o con letras indexadas (a₁, a₂, a₃...).

La suma o adición es la operación que reúne dos o más expresiones algebraicas (sumandos) en una sola expresión (suma).

Carácter general de la suma algebraica:

En álgebra, la suma puede significar aumento o disminución:

- Sumar una cantidad negativa equivale a restar una cantidad positiva del mismo valor absoluto.

- Ejemplo: la suma de m y −n es m − n.

Regla general para sumar:

Se escriben las expresiones una a continuación de la otra con sus propios signos, y se reducen los términos semejantes si los hay.

Ejemplos:

1. Sumar 5a, 6b y 8c → 5a + 6b + 8c

2. Sumar 3a²b, 4ab², a²b, 7ab² y 6b³ → 4a²b + 11ab² + 6b³

3. Sumar 3a y −2b → 3a + (−2b) = 3a − 2b

4. Sumar 7a, −8b, −15a, 9b, −4c y 8 → −8a + b − 4c + 8

> La Ley Conmutativa establece que el orden de los sumandos no altera la suma.

La resta o sustracción consiste en: dada la suma de dos sumandos (minuendo) y uno de ellos (sustraendo), hallar el otro sumando (diferencia).

La suma del sustraendo y la diferencia siempre debe reproducir el minuendo.

Regla general para restar:

Se escribe el minuendo con sus propios signos y a continuación el sustraendo con los signos cambiados, reduciendo los términos semejantes si los hay.

Ejemplos:

1. De −4 restar 7 → −4 − 7 = −11

2. Restar 4b de 2a → 2a − 4b

3. Restar 4a²b de −5a²b → −5a²b − 4a²b = −9a²b

4. De 7 restar −4 → 7 − (−4) = 7 + 4 = 11

5. De 7x³y⁴ restar −8x³y⁴ → 7x³y⁴ + 8x³y⁴ = 15x³y⁴

6. De −½ab restar −¾ab → −½ab + ¾ab = ¼ab

Carácter general de la resta algebraica:

En álgebra, la resta puede significar disminución o aumento. Restar una cantidad negativa equivale a sumar la misma cantidad positiva.

Ejemplo 1 — Combinación lineal de polinomios:

Dados M(x) = 3x² + 2x + 1 y N(x) = 7x² + 2x + 3, si 2M(x) + 3N(x) = ax² + bx + c, hallar a + b + c.

Solución:

2M(x) = 6x² + 4x + 2

3N(x) = 21x² + 6x + 9

Suma = 27x² + 10x + 11 → a=27, b=10, c=11

a + b + c = 48

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Ejemplo 2 — Expresión con polinomios:

Dados P(x) = 3x + 2 y Q(x) = 5x + 3, hallar E = [5P(x) + 3Q(x) − 19] / x.

Solución:

5P(x) = 15x + 10

3Q(x) = 15x + 9

5P(x) + 3Q(x) − 19 = 30x + 19 − 19 = 30x

E = 30x / x = 30

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Ejemplo 3 — Suma de monomios semejantes:

Sumar: 3x²y + 5xy² + 7x²y + 5x³ + 20xy² + 3xy² + 7x²y

Agrupando términos semejantes:

- x²y: 3 + 7 + 7 = 17x²y

- xy²: 5 + 20 + 3 = 28xy²

- x³: 5x³

Resultado: 5x³ + 17x²y + 28xy²