ANALISIS VECTORIAL

Magnitud Física

Es todo aquello que se puede medir.

Clasificación de Magnitudes por Naturaleza

• Magnitud Escalar: Magnitud definida por completo mediante un número y la unidad de medida correspondiente. Son magnitudes escalares: temperatura, masa, área, volumen, energía, etc.
• Magnitud Vectorial: Magnitud que para estar completamente definida requiere de una orientación. Son magnitudes vectoriales: fuerza, desplazamiento, velocidad, aceleración, etc.

Vector

Es una flecha, ente matemático que gráficamente se representa por un segmento de recta orientado que sirve para representar las magnitudes vectoriales.

Tienen módulo o tamaño (siempre un número), dirección (ángulo medido a partir del eje +x en sentido antihorario) y sentido (indicado por la punta de la flecha).

Notación Fasorial

Se denotan por un fasor:

\( \vec{A} = A < θ \)

Donde:

- \( A \) = Módulo del vector \( \vec{A} \)

- \( θ \) = Dirección del vector \( \vec{A} \)

Operaciones Vectoriales

a) Suma o Composición Vectorial

Es una operación que tiene por finalidad hallar un único vector denominado vector resultante \( \vec{R} \), el cual es igual a la suma de todos los vectores.

• Sean \( \vec{A} \) y \( \vec{B} \) vectores: \( \vec{R} = \vec{A} + \vec{B} = \vec{B} + \vec{A} \)
• Sean \( \vec{A} \), \( \vec{B} \) y \( \vec{C} \) vectores: \( \vec{R} = \vec{A} + \vec{B} + \vec{C} = \vec{C} + \vec{B} + \vec{A} \)

b) Resta o Diferencia de Vectores

Es una operación que tiene por finalidad hallar un único vector denominado vector diferencia \( \vec{D} \), el cual es igual a la resta de vectores.

• Sean \( \vec{A} \) y \( \vec{B} \) vectores: \( \vec{D} = \vec{A} - \vec{B} = \vec{A} + (-\vec{B}) \)

a) Método del Triángulo

Se pone un vector a continuación de otro y el vector que cierra el triángulo es la resultante.

b) Método del Polígono

Se utiliza para calcular la resultante de un conjunto de varios vectores coplanares. Es un método gráfico que consiste en trazar los vectores uno a continuación del otro manteniendo sus módulos, direcciones y sentidos.

El vector resultante \( \vec{R} \) se traza uniendo el origen del primer vector con el extremo del último vector.

Se llama polígono vectorial cerrado cuando los vectores son consecutivos, produciendo un vector resultante nulo (no necesitan resultante para cerrar).

Un grupo de vectores que se cierran solos y en secuencia se anularán entre sí, se equilibrarán ya que su resultante será cero.

c) Método del Paralelogramo

Gráficamente se construye un paralelogramo trazando paralelas a los vectores. El vector resultante se traza uniendo el origen de los vectores con la intercepción de las paralelas.

\( \vec{R} = \vec{A} + \vec{B} \)

Ley del Coseno para la Suma

Se utiliza para hallar el módulo de la resultante:

\( R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB\cos α} \)

Casos Particulares

A. Resultante Máxima

Si α = 0° los vectores apuntan en el mismo sentido, se obtiene el máximo valor del módulo de la resultante:

\( R_{MAX} = A + B \)

B. Resultante Mínima

Si α = 180° los vectores apuntan en sentido opuesto, se obtiene el menor valor posible de la resultante:

\( R_{MIN} = A - B \)

Entonces se cumple:

\( R_{min} \leq R \leq R_{max} \)

Si \( \vec{A} \) forma un cierto ángulo con \( \vec{B} \):

\( R_{min} < R < R_{max} \)

C. Vectores Perpendiculares

Si α = 90° ( A ⊥ B ) se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras:

\( R = \sqrt{A^2 + B^2} \)

Propiedades

Cuando los dos vectores A y B son iguales en módulo x:

• Si α = 90°: \( R = x\sqrt{2} \)

• Si α = 60°: \( R = x\sqrt{3} \)

• Si α = 120°: \( R = x \)

Comentarios

A. Si tres vectores iguales forman entre sí ángulos de 120°:

\( R = 0 \)

B. Si dos vectores de módulo 3x y 8x forman entre sí ángulos de 120°:

\( R = 7x \)

Ley de los Senos

\( \dfrac{R}{\sin θ} = \dfrac{A}{\sin α} = \dfrac{B}{\sin β} \)

Diferencia y Ley del Coseno para la Resta

La diferencia se obtiene uniendo las saetas de los vectores que se restan y la punta de la resultante se dirige del sustraendo al minuendo.

\( \vec{D} = \vec{A} - \vec{B} \)

\( D = \sqrt{A^2 + B^2 - 2AB\cos α} \)

Método de Descomposición Vectorial

Operar dos vectores se vuelve más sencillo si antes lo "partimos" (descomposición) en dos vectores, uno en el eje X y el otro en el eje Y.

Componentes Rectangulares de un Vector

Son vectores que resultan de proyectar un vector sobre dos (o tres) ejes perpendiculares entre sí:

• \( A_x \) = Componente rectangular en X del vector \( \vec{A} \)
• \( A_y \) = Componente rectangular en Y del vector \( \vec{A} \)

Se cumple que:

\( A_x = A \cos α \)

\( A_y = A \sin α \)

Pasos del Método de Descomposición Vectorial

• 1° Se hallan las componentes rectangulares.
• 2° Se calcula la resultante en cada uno de los ejes coordenados \( (R_x, R_y) \)
• 3° Se calcula el módulo de la resultante aplicando el teorema de Pitágoras y su dirección aplicando la función tangente.

\( R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \)

\( an θ = \dfrac{R_y}{R_x} \)

• Si la dirección de \( \vec{R} \) es horizontal: \( R_y = 0 \)
• Si la dirección de \( \vec{R} \) es vertical: \( R_x = 0 \)
• Si \( \vec{R} = 0 \) (nula): \( R_x = R_y = 0 \)